結城先生、 いつも色々と勉強させて頂き感謝です。 今回「自然数」についてかねてから疑問だった事をご質問させてください。 私の知る自然数は1891年にペアノが「数の概念について」で原子命題として与えて相互独立を照明した5項目 1．`1`は自然数である 2．任意の自然数に対して、`a+`が自然数を与えるような右作用演算`+`が存在する 3．もし`a, b`を自然数とすると、`a+ = b+`ならば`a = b`である 4．`a+ = 1`を満たすような自然数`a`は存在しない 5．集合`s`が以下の二条件を満たすならば、あらゆる自然数は`s`に含まれる 1．`1`は`s`に含まれる 2．自然数`a`が`s`に含まれるならば`a+`も`s`に含まれる です。 ですが、現在のペアノの公理は 1．`0`は自然数である 2．任意の自然数`a`にはその後者(`successor`)、`suc(a`)が存在する 3．`0`はいかなる自然数の後者でもない 4．異なる自然数は異なる後者を持つ：`a ≠b`のとき`suc(a) ≠ suc(b)`となる 5．`0`がある性質を満たし、`a`がある性質を満たせばその`suc(a)`もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす となっています。 自然数を`0`から始まるとする集合論や論理学や`1`から始まるとする数論などがあり、自然数と言う数の定義が2つある状態に混乱しています。 元々はプログラミング言語の`unsigned integer`に対して「符号無し整数」と言う概念は数学の整数論に定義されているか、否か？と言う疑問が発端です。 長文になりましたが 1．`0`を自然数に加える学問分野と加えない分野の混在があり「`0`が自然数であるか否かについて数学的は定義できていない」のでしょうか？ 2．`unsingned integer`は現代整数論において認められていますでしょうか？ の二点が質問となります。 よろしくお願いいたします。
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